O modo DNS de fazer isso é chamado de registro 'CNAME' .
Pense em um CNAME de DNS como um alias para outra coisa. No seu exemplo, um navegador da Web mostraria http://sub.domain_my_site.com na barra de endereço. Nos bastidores, ele continuaria a resolver sub.domain_other_site.com até obter um endereço IP; e então ele se conectaria a esse IP.
CNAMEs são usados em todo o lugar. Por exemplo, o bem conhecido www.google.com é um CNAME para www.l.google.com. , que presumivelmente é um grupo distribuído geograficamente de balanceadores de carga.