Is there a simple way to display the local IP address on screen via a client-side script?
Não, pelo menos eu não conheço nenhuma maneira multiplataforma de fazer isso em Javascript. É improvável que exista, já que isso seria uma falha de segurança considerável (qualquer site que você visitar poderia recuperar sua configuração de rede, que pode ser considerada informação privada e poderia ajudar em ataques). É possível usar o IE e o ActiveX, mas eu não recomendaria isso (não em plataformas cruzadas, não sei se ele funciona mesmo em IEs recentes).
Você poderia fazer isso a partir de um applet Java (se estiver assinado), pois você tem acesso total ao sistema (também pode ser possível a partir do Flash).
Isso disse:
Talvez você possa explicar por que acredita que precisa disso. Por que os usuários precisam se "registrar" para você? Por que você precisa do endereço IP deles?
Por que você não distribui endereços IP via DHCP?
Se você explicar seu problema / meta com mais detalhes, talvez haja uma maneira melhor.