OK, então acho que tive vários problemas:
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Quando criei originalmente os bancos de dados, fiz t2.micros que, por padrão, permitem apenas 40 conexões de uma só vez. Mais tarde, mudei a instância, para os médios, mas as conexões máximas pareciam permanecer as mesmas. Eu recriei os DBs em t2.mediums e os max_connections agora são 90 e eu posso aumentar se necessário.
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Eu interpretei mal a documentação do Locust, e eu tinha definido o teste para acertar o site a cada 90ms, então cada 0,09 segundo é muito. Eu só aumentou o tempo de acerto para 3-10 segundos (segundos reais) e os servidores aguentam bem agora.
Aumentar os usuários Locust para 200, no entanto, resulta em uma taxa de falha de 75% (desconexão de banco de dados), mas acho que posso ajustar o max_connections ainda mais, ou jogar um CDN na frente do site (o que eu farei mesmo assim )
@ michael-sqlbot recebe o prêmio aqui, ele me levou para o caminho certo.