Obrigado @bgtvfr, todos estavam trabalhando quando testei. O envio de mensagens a partir da linha de comando estava funcionando bem, como pretendido.
Os erros que listei do meu mail.log foram causados pelo fato de meu arquivo php.ini não estar configurado corretamente.
Em um ponto eu coloquei sendmail_path = /usr/sbin/posfix
e então, enquanto eu tinha mudado de volta para o código acima, apontando para sendmail
eu não havia recarregado as configurações do php.ini. Estou executando o Ubuntu com o nginx e php7.0, no entanto, reiniciar o nginx não irá recarregar suas configurações do php, então eu tive que executar o seguinte:
sudo /etc/php7.0/fpm/php.ini restart
Depois de redefinir o valor para sendmail_path = /usr/sbin/sendmail
, ele começa a funcionar conforme o esperado.