Você teria que alterar a configuração da instância do EC2 para que ele tenha o nome do banco de dados. Isso provavelmente está em qualquer aplicativo executado na instância, mas se o aplicativo estiver bem gravado, ele poderá ser passado para o aplicativo quando a VM for iniciada de alguma forma.
Você também precisa ter certeza de que as sub-redes estão configuradas de uma maneira que funcione, que grupos de segurança / NACLs estejam configurados e que talvez haja algumas outras pequenas coisas também - nenhuma vem à mente agora.