Eu encontrei a solução para esse problema.
Primeiramente, certifique-se de fazer sudo usermod -aG docker your_user e, em seguida, faça login novamente.
Verifique também se você tem chmod 777 e chmod -R your_user:your_user em suas pastas.
Finalmente, há um erro no meu comando docker run. Deve ser -v /media/postgres:/var/lib/postgresql em vez de -v /media/postgres:/var/lib/postgresql/data graças a quem quer que esteja em um canal do Slack (acho que o Dave Challis) apontou isso.