Embora o endpoint para conectar o MySQL seja um endereço público, contanto que o frontend e o backend estejam na mesma região, haverá problemas relacionados à latência zero entre eles, em comparação com um endereço privado. Eu sugiro se livrar do ClearDB MySQL se é isso que você está usando. Não é bom o suficiente para ambientes de produção. Experimente o MySQL como VM ou o novo MySQL como um serviço da Microsoft.
O Serviço de Aplicativo do Azure não se compara às VMs em relação ao desempenho se você estiver comparando 1: 1, especialmente se estiver usando o Apache, o Nginx ou qualquer outra plataforma de servidor da Web nas máquinas virtuais. O serviço de aplicativo que executa o Windows pode ser muito lento para aplicativos Php porque eles são executados no IIS. Se você implantou o Serviço de Aplicativo no Linux, o desempenho é melhor, mas ainda não é tão bom quanto a execução em VMs e ainda na visualização.
Uma coisa que você pode fazer para melhorar o desempenho é ativar o Cache via plugin WP. Do trabalho anterior com os clientes, a ativação do cache de página / banco de dados era suficiente para aumentar as velocidades de carregamento quase no mesmo nível das máquinas virtuais.