Acabei fazendo o seguinte para resolver esse problema.
Eu desassociei os dois endereços IP elásticos que estavam conectados à minha instância, tomando nota de qual interface de rede cada um deles estava anexado. Em seguida, associei os endereços IP elásticos às interfaces de rede opostas da instância. Tive então que atualizar minha ligação para sites no IIS, mas meu servidor voltou a mostrar o endereço IP elástico original para serviços externos.