OK, não sei se é uma solução adequada ou não, mas parece que funcionou.
Em cada um dos sistemas Windows Server 2008 R2, 2012 e 2012 R2, instalei o recurso "Desktop Experience" e consegui mapear a unidade. Para o sistema Windows Server 2016 - que foi instalado como "Desktop Experience" (em oposição à instalação principal) - tive que adicionar o recurso "WebDAV Redirector".
Então, obviamente, o Win 7 / 8.1 / 10 tem o redirecionador WebDAV (WebClient) ativado, mas o sistema operacional do servidor precisa que o recurso seja adicionado.
Acho estranho que seja necessário para um cliente WebDAV.
De qualquer forma, por causa das inconsistências com o cliente WebDAV do Windows, adicionei uma etapa extra no meu arquivo em lotes de mapeamento de unidade. Alguns dos sistemas não mapearam a unidade na primeira tentativa, mas sim na segunda. Portanto, ao usar a autenticação sem mapear uma letra de unidade, ela inicia a conexão para que o mapa da unidade funcione sem falhas.
O arquivo em lote está programado para ser executado diariamente às 6h e na reinicialização do sistema para manter a unidade disponível.
@echo off
net use P: /DELETE /Y
net use pe-distribution.corporatedomain.com.au /User:pe.user P@ssw0rd /PERSIST:Yes
TIMEOUT /T 3
net use P: pe-distribution.corporatedomain.com.au /User:pe.user P@ssw0rd /PERSIST:Yes