If the external company had changed the Name Servers, would this have been an issue?
- provavelmente. Se o navegador do cliente estivesse armazenando em cache o registro DNS do site, a alteração dos servidores de nomes (ou qualquer outra coisa) não mudaria esse fato.
Is there any benefit to using IP addresses instead of Name Servers?
- não entendi o que você está perguntando. Usando o endereço IP e para quê?
The external company still provide the email service, if this makes a difference. In future, what would be the best way to handle this scenario?
- Altere o registro DNS ou registros relacionados ao site e deixe tudo sozinho. Se você é o desenvolvedor da web e hospeda o site, deve se preocupar apenas com os registros de DNS relacionados ao site. Deixe os servidores de nomes, registros MX, etc., etc. sozinho. Não há necessidade de fazer nada com nenhum registro DNS além daqueles relacionados ao site.