Modifique seu /etc/resolv.conf para apontar para o DNS selecionado. Se isso ajudar você terá que substituir sua configuração de cliente DHCP para sempre usar o servidor DNS predefinido não fornecido pelo servidor DHCP.
Além disso, você terá que verificar o roteamento e o gateway padrão para possibilitar o uso de ambas as interfaces ao mesmo tempo.