Isso seria um pouco complicado, pois o youtube agora veicula todo o seu conteúdo com HTTPS, você teria que adicionar seu próprio certificado de CA a todos os navegadores da rede e, em seguida, veicular esse conteúdo por meio disso. Eu configurei um sistema semelhante no passado usando o pfsense com o plugin de cache do squid, embora você provavelmente tenha que ter em mente o certificado SSL para entregar o conteúdo corretamente sem erros. Também vale a pena observar que o youtube está constantemente mudando seu sistema e uma regra específica de cache de proxy pode ser facilmente tornada obsoleta no dia seguinte.
Esses links explicam a técnica para a veiculação de SSL por meio do proxy do squid: link
Se o vídeo for para uso de conteúdo planejado, a solução simples seria baixar o conteúdo do youtube e compartilhá-lo internamente por outros meios (compartilhamento de rede).