Antes de entrar em algo específico para uma aplicação, gostaria de começar com o básico. Não é preciso muito ou muito esforço.
Comece com algumas das coisas básicas / genéricas do diagnóstico do servidor. top / iostat / sobre / htop / iotop / free / df / vmstat, etc ... durante esse período. Relate com o que você encontra. Minha preferência pessoal é atop
para muitas coisas (ela também é executada em segundo plano e registra um tipo de log como sysstat). Olhe para a memória, swap, disco IO, carga, etc ... tudo.
Em seguida, observe os logs como o log do kernel (ou a saída do dmesg) e as mensagens do syslog.
Então olhe para o mysql e seus serviços da web quando tudo mais falhar em revelar algo.