Algumas sugestões:
1 escreva um script cron de propriedade do usuário mysql para gravar a saída "service mysqld status" em um arquivo de texto que tenha permissões de leitura configuradas para permitir que o usuário de monitoramento o leia. faça com que o script cron seja executado uma vez por minuto.
2 Adicione seu usuário de monitoramento ao mesmo grupo ao qual o usuário mysql pertence. Isso permitirá que o usuário verifique o arquivo PID; embora como @galaxy tenha mencionado, essa não é uma abordagem muito boa para o problema que você está tentando resolver.