Tudo bem, acho que finalmente cheguei a algum lugar!
Eu tive problemas para configurar o wireshark no servidor, então, primeiro, acabei usando o LogFormat diretiva para registrar a quantidade de bytes que chegam na requisição, com o parâmetro% I.
Percebi que quando recebi o erro 413, o servidor recebeu menos bytes com a solicitação e, em seguida, quando foi processado corretamente.
Então eu usei mod_dumpio para dar uma olhada em todo o pedido, e com certeza muito disso estava faltando quando eu estava recebendo o erro.
Além disso, o código 70007 estava aparecendo nos logs, o que, até onde eu entendo, significa tempo limite.
Então eu comecei a pensar que o problema pode realmente ser a minha conexão, em vez de qualquer coisa a ver com o servidor. Eu pedi a algumas pessoas para testar o site, e ninguém relatou nenhum problema, então eu estou supondo que é isso.
Então, no final, acho que não há nada para ver aqui, mas talvez a minha experiência salve a pobre alma do stress que passei.