Estou assumindo que 5.6.71.166 está em um domínio Ethernet diferente. Para se comunicar com hosts em um domínio Ethernet diferente, o host deve usar um gateway para chegar lá. A rota que você adicionou especifica que 5.6.71.166 é diretamente acessível, e é por isso que está falhando. Você precisa fornecer um gateway apropriado para usar. Assumindo que 192.168.111.1 é o gateway na rede local:
ip route add 5.6.71.166 via 192.168.111.1
Se o gateway 5.6.7.166 estiver no mesmo domínio Ethernet, ele não saberá como rotear pacotes de volta para sua máquina ou os pacotes serão filtrados em algum lugar. O gateway precisa de uma rota para 192.168.111.0/24 na rede local, ou você precisa adicionar um endereço IP à sua máquina, que está na sub-rede local do gateway.
Uma vez configurada, verifique se o ARP está funcionando nas duas máquinas:
arp -n | grep 5.6.71.166
Você deve ver um HWaddress listado. Faça o mesmo no gateway do IP da sua máquina. Se ainda assim não funcionar, verifique os firewalls e possivelmente inverta a filtragem de caminho.