Basta usar o comando journalctl , como em:
journalctl -u service-name.service
Ou para ver apenas as mensagens de registro da inicialização atual:
journalctl -u service-name.service -b
Para as coisas com o nome <something>.service , você pode usar apenas <something> , como em:
journalctl -u service-name
Mas para outros tipos de unidades (sockets, targets, timers, etc), você precisa ser explícito.
Nos comandos acima, o -u é curto para --unit e especifica o nome da unidade em que você está interessado. -b é a abreviação de --boot e restringe a saída apenas à inicialização atual para que você não veja muitas mensagens antigas. Consulte a página de manual do journalctl para obter mais informações.