O problema é que, até onde eu sei, outro usuário não tem permissão para acessar o sistema X window. Caso contrário, qualquer usuário do sistema seria capaz de abrir janelas pop-up na sua área de trabalho ad libitem. Você provavelmente terá que resolver o problema fornecendo uma autorização X apropriada através da variável ambiental XAUTHORITY.
Quando você executa sudo -u app_restricted -l /usr/bin/gedit
, isso significa apenas que você lista os programas que o usuário pode executar. Desde que você diga o que o programa que você está perguntando, só lista aquele. Sim, o usuário app_restricted tem permissão para executar o programa ... nessa sessão de usuários X, mas não na sua sessão X.