Encontrou o problema. Acontece que o Apache quer acessar não apenas o diretório que estou veiculando, /home/billy/refresh-app/ , mas também todos os diretórios acima, ou seja, /home/billy/ , /home e / . (Eu não tenho idéia do porquê ... dar a alguém acesso a um subdiretório não deveria exigir permissões para tudo acima daquele subdiretório ...)
Eu acho que ele está procurando .htaccess ou algo assim, ou talvez * nix sendo estranho sobre como ele trata as permissões para diretórios transversais.