Nada disso. Quando o processo do terminal terminar, os processos do cliente dentro também morrerão e, quando isso acontecer, a conexão com o servidor remoto será fechada pelo sistema operacional. O servidor verá a conexão fechar e encerrar os processos no servidor.
No entanto, é possível que você acabe com processos remanescentes no servidor, se eles foram em segundo plano e ignorar certos sinais.