Você pode usar apenas cut
para isso:
$cut -d '"' -f2 < logfile
GET /balancer-manager HTTP/1.1
-d '"'
diz a cut
para usar aspas duplas como seu delimitador de campo. -f2
diz para ele pegar o segundo campo, que fica entre a primeira e a segunda aspas - ou a primeira string citada, exatamente o que você quer.