Você pode usar apenas cut para isso:
$cut -d '"' -f2 < logfile
GET /balancer-manager HTTP/1.1
-d '"' diz a cut para usar aspas duplas como seu delimitador de campo. -f2 diz para ele pegar o segundo campo, que fica entre a primeira e a segunda aspas - ou a primeira string citada, exatamente o que você quer.