Não estou seguindo totalmente o seu exemplo + a descrição, mas parece que você quer isso:
$ grep -v "<a href=.*title=.*NOTNEEDED" sample.txt
<a href="http://website1.com" title="something">
<a href="http://website1.com" information="something" title="something">
<a href="http://website2.com" title="some_other_thing">
<a href="http://website2.com" information="something" title="something">
Então, para o seu exemplo:
$ curl www.example.com | grep -v "<a href=.*title=" | grep -v NOTNEEDED > new.txt