Não há opção para usar locate para localizar o tipo de arquivo selecionado (como o diretório), mas você pode usar a sintaxe da sua pergunta - Dropnot$ para encontrar linhas que terminem com Dropnot . Para isso, você deve usar a opção -e para localizar a expressão regular POSIX.
Nesse caso, você deve usar:
locate -e Dropnot$
É importante a versão do seu site. No meu sistema (Gentoo Linux) tenho Secure Locate:
$ locate --version
Secure Locate 3.1 - Released March 7, 2006
em que não há --basename da resposta de uther . Esta opção é fornecida pelo pacote GNU Locate from findutils:
$ ./locate --version
locate (GNU findutils) 4.4.2
Se você quiser usar o regexp com o GNU Locate, você deve usar -r em vez de -e .