Você pode apenas fazer:
{ commands
....
} | logger -t my_awesome_script
Você pode fazer isso com qualquer shell.
Se você não gostar da aparência, talvez faça o script se envolver em uma função.
#!/bin/sh
run() if [ "$run" != "$$" ] || return
then sh -c 'run=$$ exec "$0" "$@"' "$0" "$@" |
logger -t my-awesome-script
fi
#script-body
run "$@" || do stuff