Any output produced by a command is sent to the user specified in the MAILTO environment variable as set in the crontab(5) file or, if no MAILTO variable is set (or if this is an at(1) or batch(1) job), to the job's owner. If a command produces no output or if the MAILTO environment variable is set to the empty string, no mail will be sent.
Como ele usa o correio local, você realmente não precisa configurar nada, ou talvez apenas instale o mailx, se ainda não estiver aqui. Cron irá enviar-lhe a saída, você pode salvar o e-mail em um arquivo e fazer muitas coisas de lá. Tentar modificar a maneira como o cron funciona para atender diretamente a sua necessidade não é o caminho a percorrer. Se você não pensa assim, apenas atualize e re-buil o cron, chame-o my_cron e use-o ao invés do cron. E esteja preparado para manter seu my_cron atualizado e reconstruí-lo com frequência.
Adicione isto no começo de todos os seus scripts para registrar tudo e parar no primeiro erro
exec 2>&1 > /var/log/YOUR_LOG_FILE
set -e