Não, não acho que isso seja possível. Nem deveria ser. Isso basicamente equivaleria a uma maneira de injetar código em um shell já lançado e ativo e representaria uma ameaça significativa à segurança.
Muitos processos daemon são projetados para isso. A maneira típica seria enviar o sinal HUP (hangup), que faz com que eles relançem depois de reler seus arquivos de configuração. Você poderia acionar isso com algo como:
pkill -HUP daemon_name
No entanto, ao fazer isso no bash, o bash simplesmente desliga. Não é um daemon e o sistema não tem que se comportar como um.
O longo e o curto é que você provavelmente não continuará fazendo mudanças em seu bashrc com tanta freqüência com o passar do tempo e não será um grande problema. Quando você fizer mudanças, você terá apenas que re-fonte do arquivo, se você precisar das alterações em shells em execução.