Quando o kernel entra em pane, significa que algo deu errado no kernel. Escrever arquivos de log e core dumps requer o uso dos drivers para o dispositivo de armazenamento em bloco (seu disco) e o sistema de arquivos (o espaço deve ser alocado e o tamanho do arquivo de log deve ser atualizado). Dado que os serviços que são fornecidos pelo kernel são necessários para escrever arquivos, e o kernel sabe que está em um estado quebrado, ele não pode gravar os arquivos ou registrar qualquer coisa, porque não está mais em um estado seguro, então fazendo qualquer operação pode piorar as coisas e danificar / destruir seu sistema de arquivos. Então você não pode ter o kernel escrito no log nem despejar um core dump quando entrar em pânico.
Agora, o que você pode fazer, se quiser, é configurar o sistema com um kernel de tratamento de falhas, que é um segundo kernel carregado na memória para o qual o controle pode ser transferido se o kernel principal falhar. Desde que o kernel tem drivers e tal, seria capaz de salvar um despejo de memória para você. Esta não é uma configuração muito comum, porém, e usada principalmente para sistemas high-end que exigem alta disponibilidade e onde uma falha é um problema muito sério que deve ser investigado.
Veja por exemplo a opção crashkernel
em Kernel Crash Dump em ubuntu.com.
(Observe que esta página diz que o mecanismo de despejo de memória do kernel
está habilitado por padrão, começando com o Ubuntu 16.04.)
Acredito que o sistema realmente salva o dump em uma parte reservada da memória e depois reinicia, e o kernel salva a memória reservada no disco na próxima inicialização (já que o kernel recém-inicializado está em um estado sã e pode fazer isso).