do I need to have a swap partition for each distro or can LFS use the swap partition I already have?
Como Goldilock diz, a menos que você esteja hibernando (suspender para o disco), sim. Caso contrário, não, porque você poderia substituir a troca de um sistema hibernado - seja o estado salvo ou a parte que foi usada como troca regular no momento da suspensão.
If so, would the swap partition have to be a primary partition, or does it not matter?
Não, não importa. Você pode usar o swap no arquivo em um sistema de arquivos regular, se necessário (existe uma pequena sobrecarga, mas também é mais flexível). Você pode até mesmo trocar para o NFS, se você estiver em negrito o suficiente.
Por outro lado, se você rodou o Windows 7 na máquina, é provável que você tenha memória suficiente para não precisar de swap em circunstâncias normais - mesmo com "apenas" 2GB de RAM você pode fazer muitas coisas sem swap (ambiente de desktop básico usará ~ 200MB). Não que a troca seja desnecessária, mas a necessidade atual é muito menor do que há dez anos.
since deleting Windows 7 (sda 1-3), my Linux partitions are still numbered 5-7. If I create a new partition, will it be called sda1?
Como o disco está usando o esquema de particionamento do MBR, os números, todas as partições lógicas terão o número 5 e superior. A menos que você expanda a partição estendida que contém as lógicas, o único espaço restante provavelmente estará disponível apenas para partições primárias, que serão numeradas de 1 a 3, contanto que a partição estendida tenha o número 4. Consulte wiki no MBR para mais detalhes.
Is there any practical difference between a primary and a logical partition?
Não nos dias de hoje. Os BIOS normalmente não eram capazes de inicializar a partir de partições lógicas (porque eles apenas liam o MBR). Hoje os bootloaders geralmente sabem como fazer isso, então a única coisa que o BIOS faz no processo de carregamento do sistema é ler o trampolim do bootloader do MBR (ou setor de inicialização em uma partição primária) e que cuida de tudo primeiro carregando o restante do o bootloader, que por sua vez carrega o kernel.
is an extended partition just a primary partition that contains logical partitions?
Sim, você pode visualizá-lo com um pouco de abstração - ele se comporta como tal, mas os metadados da partição são armazenados de forma diferente (como uma lista vinculada em vez de uma matriz com 4 elementos, que é o MBR). Quanto à pergunta no comentário - sim, você só pode ter uma partição estendida. Mas depois de finalizar um pouco sua configuração (ou até mesmo antes), convém mudar para a GPT . Pode até ser possível fazê-lo não destrutivamente (depende do layout exato das partições).