Você tem algumas opções.
Altere as configurações em /etc/apt/apt.conf
dir::state::lists /path/to/new/directory;
dir::cache::archives /path/to/new/directory;
Monte partições maiores nos diretórios atuais (se você tiver espaço livre para uma partição):
# mount /dev/sda5 /var/lib/apt
# mount /dev/sda6 /var/cache/apt
É claro que, para o acima funcionar, você precisará criar partições e sistemas de arquivos primeiro.
Symlink para outro local (se você não tiver espaço para novas partições, mas espaço nas partições atuais):
# ln -s /home/apt/lib /var/apt/lib
# ln -s /home/apt/cache /var/apt/cache
Ou como acima, mas usando montagens de ligação:
# mount --bind /home/apt/lib /var/apt/lib
# mount --bind /home/apt/cache /var/apt/cache