Quando você usa aspas simples, também chamadas de aspas duras, os nomes das variáveis não são expandidos. Você precisaria usar aspas duplas, também conhecidas como aspas suaves.
sed "s:/dir1/dir2/$var/Last_dir/::"
ou escapa as citações:
sed 's:/dir1/dir2/'"$var"'/Last_dir/::'
Você também precisa ter certeza de que $var
não possui nenhum caractere de dois-pontos, ponto, estrela, [
, nova linha ou barra invertida ou que, em caso afirmativo, eles são escapados.