As a Linux admin, is one of my jobs to carry out some sort of task to drop root privileges of the applications running on my systems?
Sim. É o seu trabalho, certifique-se de que está feito. Se o aplicativo não fizer isso, você terá que perceber que o aplicativo não está fazendo isso e faça você mesmo.
Or do I simply rely upon the application developers to ensure they have written their code to do this?
Não confie em desenvolvedores de aplicativos para fazer qualquer coisa. Há muitas ferramentas disponíveis para um administrador do sistema Linux para obter os fatos do que os aplicativos estão fazendo em tempo de execução.