Usar tail
no modo de acompanhamento deve permitir que você faça o que quiser.
tail -n +0 -f /proc/<pid>/fd/<fd> > abc.deleted
Acabei de fazer um teste rápido e parece funcionar aqui. Você não mencionou se seu arquivo era um arquivo binário ou não. Minha principal preocupação é que ele não pode copiar do início do arquivo, mas o argumento -n +0 deve fazer isso mesmo para arquivos binários.
O comando tail não pode terminar no final do download, então você mesmo precisará finalizá-lo.