Antes de mais nada, sua mensagem já contém o nome do programa:
kernel: [11.895392] init: failsafe main process (631) killed by TERM signal
Isso significa que o programa failsafe
com o pid 631
recebeu um sinal TERM
.
Para responder à sua pergunta original, nenhuma maioria das Distribuições Linux registra os pids dos processos criados por padrão, mas você pode usar o estrutura de auditoria e crie as regras necessárias para registrar todos os processos criados. O link fornece uma introdução a essas regras e deve ajudá-lo a começar.