Em um terminal:
steam --reset
Isso fornecerá uma instalação limpa para o cliente, mas deixará todos os seus jogos intactos.
Lembre-se de que, embora isso "corrija" seu problema de conexão, é como comprar um carro novo para consertar um pneu furado. Provavelmente existe uma solução mais simples e mais elegante, mas não consegui encontrar uma quando tive esse problema.