Você pode usar o programa ts
de moreutils para adicionar um timestamp a cada linha.
{ echo foo; sleep 1; echo bar; } | ts
Dec 13 01:07:23 foo
Dec 13 01:07:24 bar
Para ler da porta serial e saída para um arquivo:
ts </dev/ttyS0 >arduino.log
(Substitua /dev/ttyS0
pelo caminho certo para o dispositivo de porta serial,.)