Gostaria de começar na parte inferior da pilha e confirmar que o dispositivo Ethernet está sendo detectado pelo sistema operacional primeiro.
Exemplo
$ sudo lshw -c network -sanitize
*-network
description: Ethernet interface
product: 82577LM Gigabit Network Connection
vendor: Intel Corporation
physical id: 19
bus info: pci@0000:00:19.0
logical name: em1
version: 06
serial: [REMOVED]
capacity: 1Gbit/s
width: 32 bits
clock: 33MHz
capabilities: pm msi bus_master cap_list ethernet physical tp 10bt 10bt-fd 100bt 100bt-fd 1000bt-fd autonegotiation
configuration: autonegotiation=on broadcast=yes driver=e1000e driverversion=2.3.2-k firmware=0.12-1 latency=0 link=no multicast=yes port=twisted pair
resources: irq:43 memory:f2600000-f261ffff memory:f2625000-f2625fff ioport:1820(size=32)
Deste tipo de saída, você pode começar a confirmar que existe um driver real conectado ao seu dispositivo Ethernet e que, pelo menos, foi detectado pelo kernel durante a inicialização.
UPDATE # 1
Com base nessa saída das suas atualizações:
$ sudo lshw -c network -sanitize:
*-network NO RECLAMADO
descripción: Ethernet controller
producto: RTL8111/8168/8411 PCI Express Gigabit Ethernet Controller
...
fabricante: Realtek Semiconductor Co., Ltd.
id físico: 0
información del bus: pci@0000:04:00.0
versión: 06
anchura: 64 bits
reloj: 33MHz
capacidades: pm msi pciexpress msix vpd bus_master cap_list
configuración: latency=0
recursos: ioport:d000(size=256) memoria:d0004000-d0004fff memoria:d0000000-d0003fff
Você deve notar que a linha "configuration" não especifica um módulo do kernel (driver). Este é provavelmente o seu problema.
Eu encontrei este tópico que parece relacionado ao seu problema (embora seja com o Ubuntu). O tópico é intitulado: " Tópico: 13.10 RTL8111 / 8168/8411 internet lenta ". Eu tentaria carregar este módulo para ver se funcionaria com seu hardware específico:
$ sudo modprobe r8169
Você pode verificar a saída de dmesg
depois para ver se o módulo foi carregado com sucesso.
Se isso funcionar, você pode torná-lo permanente adicionando este módulo à lista de módulos do seu sistema para carregar na inicialização.
$ sudo echo "r8169" >> /etc/modules
Você também pode adicionar uma associação no diretório /etc/modprobe.d/
que associe o dispositivo, r6168 ao r6169.