Use sudo -s -H -u git-auto-deploy .
sudo por si só não altera o valor de HOME , mas o faz quando -H é usado. É por isso que você está recebendo o erro "Permissão negada". O usuário não pode acessar o diretório pessoal do root (e não deve poder fazer isso).
A opção -s torna sudo iniciar qualquer shell configurado como o shell de login para o usuário especificado (ou seja, não é necessário executar explicitamente /bin/bash ).