Vamos melhorar o P.T.:s responder um pouco.
O formulário básico envia toda a saída normal para o arquivo de log.
./run_all_with_logs >> logs/my.log &
Se redirecionarmos os erros, poderemos registrar os erros e as impressões normais.
./run_all_with_logs 2>&1 >> logs/my.log &
Se, em seguida, executarmos o comando em um subshell, também poderemos imprimir o código de saída.
(./run_all_with_logs ; echo "Final Exit Code: $?" ) 2>&1 >> logs/my.log &