Você pode usar um UID ou um nome, como você pode ver em man pgrep
:
-u euid,...
Only match processes whose effective user ID is listed. Either the
numerical or symbolical value may be used.
-U uid,...
Only match processes whose real user ID is listed. Either the
numerical or symbolical value may be used.
Se você também não sabe, basta usar a substituição de comandos:
pgrep -u "$(whoami)"