Ok /var/www/tmp/test//./saved_images/2013-07-07 é o mesmo que /var/www/tmp/test/saved_images/2013-07-07 .
Duplo / é ignorado, você pode digitar ls //// e é o mesmo que ls / .
O ponto . é o mesmo diretório em que está.
Portanto, ls /. mostra a mesma saída que ls / e, portanto, /var/www/tmp/test/. aponta para o diretório /var/www/tmp/test/ .
Portanto, rsync apenas pega o diretório atual, no caso você var/www/tmp/test/ (pelo menos quando seu caminho começa com . ).
Em seguida, ele adiciona um / extra para que possa ter certeza de que o caminho definitivamente tenha um / para adicionar o final.
Na última etapa adiciona a parte que você deu, aqui ./saved_images/$(date +%Y-%m-%d)/$(date +%Y-%m-%d_%H-%M).jpg
O erro que você está vendo é que o diretório /var/www/tmp/test/saved_images/ não está lá e rsync não irá criá-lo, porque parece que rsync cria apenas um diretório.
Editar
Talvez, para o seu problema, você apenas use um script com
today_dir=$(date +%Y-%m-%d)
mkdir -p ./$today_dir/
cp webcam.jpg ./$today_dir/$(date +%Y-%m-%d_%H-%M).jpg