Infelizmente, não há muito o que fazer além de substituir o disco rígido ou obter um disco externo.
Você pode, é claro, tentar reduzir a quantidade de espaço em disco que está usando, mas a maioria das distros modernas do Linux vai comer 20 shows rapidamente. Isso significa que você quer aparar tudo o que não precisa, ou possivelmente alterar distribuições para uma que seja um pouco mais aparada (o que significará menos funcionalidade). Eu não sei quais são suas necessidades, então eu realmente não posso recomendar mais do que isso. A única coisa com a qual trabalho pessoalmente, que eu rotularia de "aparar", é o OpenBSD, mas duvido que você queira seguir essa direção; haverá uma curva de aprendizagem íngreme.
Você tem um disco de 20 GB lá. Duvido que seja original; a folha de especificações da Dell lista a menor unidade oferecida em 40 GB. A boa notícia é que parece ser SATA - eu não tenho certeza qual o tamanho máximo que o BIOS suporta nessa máquina, mas contanto que você não enlouqueça, tudo bem. Puxe-o primeiro para ter certeza - se ele tiver um monte de pequenos pinos (cerca de 44 ou mais deles), ele é paralelo ao ATA e será mais difícil de substituir. SATA terá duas guias com contatos de metal. Uma pesquisa no google mostrará a diferença.
Você deve ser capaz de pegar uma unidade maior usada localmente, perguntando por seus amigos mais nerds. Caso contrário, uma loja de informática pode ter uma na caixa de hardware - vale a pena conferir. Os novos podem ser bastante baratos - mas, como eu disse, não tente encher um terabyte para isso; Eu duvido que funcione. Certifique-se de que é uma unidade de laptop; os desktops têm drives fisicamente maiores que não cabem.
Procure "dell latitude d620 hard drive" no youtube e você verá vídeos sobre como remover e substituir a unidade.