Primeiro, você precisa deixar sua partição root ("/") incorreta ou muitas coisas ruins acontecerão em seu sistema. Ele precisa de / tmp para ser gravável para muitas tarefas do sistema e do usuário.
Sua partição raiz é de apenas 50 GB, de modo que você nunca obterá o espaço necessário na estrutura de partições atual.
Suas opções seriam reparticionar para obter um / var (espaço vazio em / home) para dar espaço para os arquivos de dados do MySQL. o utilitário parted fará isso. Se é uma máquina hospedada que pode não ser fácil ou possível, e eu não recomendo brincar com esse utilitário se você não tiver certeza do que está fazendo.
Na falta disso, é um pouco um hack, mas você pode contornar isso com links simbólicos. Novamente, normalmente não é recomendado e você provavelmente precisaria levar sua máquina para o modo de usuário único, já que os daemons em execução terão bloqueios de arquivos impedindo que você se mova. A essência seria:
mv /var /home
ln -s /home/var /var
E, se você fizer isso, provavelmente precisará reinicializar a máquina para atualizá-la:
shutdown -r now
Por favor, pesquise o que você quer fazer, brincar com partições de disco pode ficar muito confuso se você não tiver um plano claro.