Seus arquivos estão na partição sda3, portanto, alterar o fstab por si só não moverá os arquivos.
Você poderia (entre várias alternativas)
mkdir /home.new
mount /dev/sda4 /home.new
cp -a /home/user /home.new
umount /home.new
rf -fr /home
mv /home.new /home
mount /dev/sda4 /home
edite o fstab para incluir /home
/dev/sda4