Edite seu arquivo crontab e adicione:
MAILTO=your.email@your_provider.com
e no final do script, adicione:
echo 'backup finished', $FILE
cron
normalmente envia qualquer saída do comando executado por email. Seu script parece estar em execução silenciosamente, portanto, não há e-mail.
Se você não adicionar o MAILTO, o email irá para o usuário executando o crontab, IMHO, é melhor explicitar isso.