A opção -C faz o tar mudar para um diretório existente antes de começar a extrair:
tar xv -C /mnt/archive -f /home/user/Downloads/archive-latest.tar.gz
Se você já estiver localizado no diretório /home/user ou /home/user/Downloads , poderá encurtar o caminho depois de -f de acordo.
Se houver uma chance de o caminho de destino não existir, você poderá criá-lo com mkdir :
mkdir -p /mnt/archive; tar xv -C /mnt/archive -f /home/user/Downloads/archive-latest.tar.gz
Com a -p opção mkdir não reclama caso o diretório já exista.