O problema que você está tendo atualmente é que a conexão SSH "pausa" o script e o script é retomado com a linha echo Connected to "$serverName"
somente após a saída da sessão SSH.
A meu ver, você tem duas opções. (Provavelmente há mais, mas estes são os dois que eu posso pensar atualmente.)
A primeira opção é usar expect
para iniciar uma sessão SSH que você pode controlar por meio do script, enviando comandos de um lado para o outro do script mestre para a sessão SSH. A segunda opção é colocar o bloco que você deseja executar remotamente no servidor remoto como um script diferente e executar o SSH de maneira não interativa: ssh $server $script-to-run
.