Suas suposições são corretas . No entanto, o que você observa em um roteador comercial não é um recurso do DHCP, mas um programa separado, um servidor de nomes. O servidor de nomes de ligação é uma escolha muito comum para o servidor de nomes. Você instala no seu roteador. Em seguida, você reconfigura o DHCP, porque o DHCP (d) pode informar aos clientes qual nameserver usar. Para te dizer como reconfigurar seu dhcpd eu precisaria saber qual é.
Este é um howto de DNS. A seção 3 diz a você como configurar o bind para ser um encaminhamento e um cache nome do servidor. A ideia é que cada cliente local direcione as solicitações de DNS para o servidor, o que, por sua vez, faz a pesquisa e retorna o resultado para o cliente. Ao fazer isso, ele armazena em cache solicitação e resposta para que, quando outro cliente solicitar o mesmo nome de host, seu servidor de nomes local possa responder à pergunta imediatamente, sem enviar pacotes pela Internet.