Você não precisa (ou quer) os parênteses lá. Além disso, a sintaxe grep para OR lógica é grep 'foo\|bar . Você precisa escapar do | , a menos que você use -E . Então, qualquer um desses funcionará:
./run_test.sh 2>&1 | tee -a log1.log | grep 'START\|END' > myscripts.log
ou
./run_test.sh 2>&1 | tee -a log1.log | grep -E 'START|END' > myscripts.log
ou
./run_test.sh 2>&1 | tee -a log1.log | grep -P 'START|END' > myscripts.log