Um cliente X11 está armazenando dados de contexto no lado do servidor X. Tudo isso é perdido quando o servidor é reiniciado, então não há nenhuma maneira que eu saiba para simplesmente "replicar" o cliente para outra instância do servidor.
Se você realmente quiser recuperar um cliente X11 depois que seu servidor X11 for reiniciado, você precisará primeiro executar o cliente através de um servidor intermediário X11 "proxy" como VNC, Xpra, NX ou comercial como o Oracle SGD, Citrix e os gostos.