O roteamento é sobre "onde (e se) enviar para". Isso não se limita a selecionar uma NIC. No seu caso, o roteamento é muito simples.
Você precisa se mascarar em sua forma mais simples (todos os comandos no host A):
iptables -t nat -I POSTROUTING -s 192.168.22.234 -j MASQUERADE
E talvez (se ainda não) você precisar permitir o encaminhamento:
iptables -I FORWARD 1 -m conntrack --ctstate ESTABLISHED,RELATED -j ACCEPT
iptables -I FORWARD 2 -s 192.168.22.234 -j ACCEPT
Supondo que o host A esteja configurado como o gateway padrão para o Host B.
Editar 1:
Após uma conversa por chat, a situação ficou mais clara. Em teoria, configurar o gateway padrão em B deveria ser suficiente. Mas parece que o gateway (que não está sob o controle do questionador) bloqueia o host B. Assim, a solução de mascaramento era necessária.